フィボナッチ数列から黄金比が出現することは既に常識となっています。ここでは逆に黄金比からフィボナッチ数列が出現していることを実際に見てみます。

　Φは黄金比で、Φ＾0は黄金比の０乗で１とします。
　Ｆ（１，Φ＾1）とは初項が１で第二項が黄金比≒1.618にした場合のフィボナッチ数列の意味です。
ゼロからマイナスの項数についてはφ≒0.618を使用すると便利です。Φ×φ＝１となります。

　mod９とはある数を９で割った余りに置き換える処理をする特別な計算方式です。数論では法とかモジュラー算術と呼ばれているものです。剰余算の一種ですが、古神道の「ひふみ算」や古代ユダヤの「カバラ式算術」にも古くから登場しています。ですから「９」が秘数と呼ばれてきたことが改めて理解されるのです。
　
　あらゆる（一般形式）フィボナッチ数列をこのmod９で処理すると、四つの数の流れに集約できることが解かりました。それらを「Ｆ系列」「Ｌ系列」「Ｋ系列」「Ｍ系列」の四系列（チェーン）と呼ぶことにします。一つの系列は２４個の数字で流れていて、隣同士の数を足すと次の数になります。
（注　7＋8＝15は　1＋5＝6で　6になります）
　
　黄金比の累乗を数列で現すということは即ちＦ（１，Φ＾1）＝初項が１で第二項が黄金比のフィボナッチ数列を意味していることが左の表で確認ください。
（実際に計算して、確認してみてくださると理解されるでしょう）

　mod９の欄を見ますと、マイナスの項数についても正数の数値で表せます。２２−７７の数が特徴です。１，３，４，７，１１のリュカ数列にも現れるので「Ｌ系列」と呼んでいるわけです。

　2008年１１月７日　鎌倉にて　千々松　健

追記１：
ピラミッドの内部構造を黄金比の平方根で追及されている「ミスターピラミッド」こと松本英樹さんいう有名な方がおられます。今回、その√Φの累乗を数列にしたものを検討したところ、リュカ数列とミチコ数列の融合体となっていることが解かりました。
左側の√Φの累乗の数列はL＋M系列となっているPDFからもご覧いただけます。

追加２：
ＦＬＫＭ数列の相互関係およびΦとφと√５についてPDFを作成しましたので追加します。
２００８年１２月２３日　

追記３：
リュカ数列と黄金比についての公式　Lｎ=Φ＾ｎ＋（-φ）＾ｎ　PDFを作成しましたので追加します。
一部に過去の修正事項が含まれています。
2009年1月15日

追記４：
フトマニ数列群：黄金比が生むフィボナッチ数列やmod 9が生むFLKM系列　PDFを作成しましたので追加します。
2012年1月23日